Τετραγωνισμός του κύκλου

- in ΕΠΙΣΤΗΜΗ

Η λύση του Δεινόστρατου

Στη μεγάλη επιτομή του Πάππου, η οποία πρέπει να γράφτηκε στην εποχή του αυτοκράτορα Διοκλητιανού (284-305 μ.Χ.),αναφέρεται ότι ο Δεινόστρατος, ο αδελφός του Μεναίχμου και ο Νικομήδης χρησιμοποίησαν για τον τετραγωνισμό του κύκλου μια καμπύλη, η οποία, για τον λόγο αυτό, ονομάστηκε τετραγωνίζουσα. Την καμπύλη αυτή, τήν ανακάλυψε ο Ιππίας, φαίνεται όμως ότι ο Δεινόστρατος τή χρησιμοποίησε για τον τετραγωνισμό του κύκλου. Στο παρακάτω σχήμα, έχουμε ένα τετράγωνο ΟΑΓΔ, ένα ημικύκλιο ΑΔ και την τετραγωνίζουσα ΔΕ. Ονομάζουμε q=το μήκος του τόξου ΑΔ
Ο Πάππος, ενδεχόμενα ο ίδιος ο Δεινόστρατος (γύρω στο 350 π.Χ.), απέδειξε ότι:

(απόδειξη)

Από την (1) προκύπτει ότι το μήκος q του τεταρτοκυκλίου ΑΔ κατασκευάζεται ως τέταρτη ανάλογος των α,α ( το τμήμα α είναι η ακτίνα του κύκλου στον οποίο ανήκει το τόξο) και του μήκους ΟΕ, όπου Ε είναι το σημείο, στο οποίο η τετραγωνίζουσα τέμνει την ΟΑ. Μπορούμε τώρα να κατασκευάσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα με μήκος 4q, δηλ. ίσο με το μήκος του κύκλου.
Ο Δεινόστρατος προφανώς γνώριζε την πρόταση που απέδειξε αργότερα ο Αρχιμήδης ότι :
Το εμβαδόν ενός κύκλου είναι ίσο με το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου, που η μία από τις κάθετες πλευρές του είναι ίση με το μήκος του κύκλου και η άλλη με το μήκος της ακτίνας του.

Έτσι, για να τετραγωνίσουμε τον κύκλο, ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:
• σχηματίζουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με κάθετες πλευρές ΑΓ= r και ΑΒ = 4q.
• παίρνουμε το μέσο Μ της ΑΒ και σχηματίζουμε το ορθογώνιο ΑΜΔΓ, του οποίου το εμβαδό θα είναι ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου.
• προεκτείνουμε τη ΓΔ και παίρνουμε τμήμα ΔΕ = ΔΜ, κατασκευάζουμε το ημικύκλιο με διάμετρο την ΓΕ, στο σημείο Δ φέρουμε την κάθετη ΔΖ προς την ΓΕ και το τμήμα ΔΖ είναι η πλευρά x του ζητούμενου τετραγώνου
Πράγματι…

Πηγή: http://users.sch.gr

Logo

Διαβάστε Επίσης

Τουρκία – Μαρτυρίες πολιτών: «Πεθαίνουν 400-500 άτομα, κάθε μέρα…

Kρύβει το χάος ο Ερντογάν!…» – Συλλαμβάνεται όποιος